Спросите Итана №22: парадокс с отсутствием дня рождения

Есть 364 дня, когда ты можешь получить подарок не на день рождения, и только один – для подарков на день рождения, знаешь ли.
— Льюис Кэрролл

Читатель спрашивает: 

Среди моих 1434 фейсбучных френдов сегодня ни у кого нет дня рождения. Каковы шансы такого события, если в году 365,25 дней?

http://geektimes.ru/post/260102/
Предположим, что все ваши друзья родились после 1 марта 1900 года.



За последние 114 лет каждые 4 года случался високосный год. Предположив, что все знакомые родились в совершенно случайные дни и года, получим, что есть 4 шанса из 1461, что они родились в любой день, кроме 29 февраля, и 1 шанс из 1461, что они родились 29 февраля.

Давайте посчитаем шансы того, что у произвольного количества ваших друзей сегодня нет дня рождения. Начнём с одного.



Если у вас один друг, и сегодня не 29 февраля, значит шансы того, что у него нет дня рождения, составляют 1457 из 1461, или 99,73%. И это верно для любого из ваших друзей.

Значит, и у второго друга шансы того, что у него нет дня рождения сегодня, составляют 99,73%, и у третьего, и у сотого, и т.д. Для простоты возьмём 6 друзей – какие будут тогда шансы, что ни у кого из них нет сегодня ДР?



98,37%, поскольку необходимо, чтобы у первого человека не было ДР, и у второго не было, и т.д. Иначе всё пропало.

Забава в том, что эту формулу можно расширить на любое количество людей.



Для небольшого количества друзей шансы велики. Они падают до 50-50 по достижению количества друзей в 253 человека, и после этого быстро уменьшаются. Для 1434 друзей шансы уже менее 2%. Имея 5000 друзей вы получите шансы в 0,0001113%, или 1 к 900000.

А как насчёт более общего подхода? Если мы хотим узнать шансы того, что существует хотя бы один день в году, когда ни у кого нет ДР? Это посложнее.



Если мы посчитаем шансы того, что сегодня ни у кого нет ДР, и вычтем это из 100%, то мы получим шансы того, что у кого-то сегодня есть ДР. Чтобы сложилась ситуация, в которой ни у кого нет ДР, можно вычесть из 100% шансы того, что у кого-то есть ДР в любой из дней года. Это, конечно, будет возможно только при наличии не менее 365 друзей.

Получается, что если у вас менее 2000 друзей, почти однозначно в году будет хотя бы один день, когда ни у кого нет ДР, а если более 4000 – то для этого практически не останется шансов.