Здравствуйте, уважаемые читатели!
Наконец, настала пора подойти к самому неприятному - к математике. Я уже говорил в одном из прошлых выпусков, что роль математики в физике сводится к двум вещам, положительной и отрицательной. Положительная состоит в том, что математика позволяет четко и однозначно записывать обнаруженные закономерности. Отрицательная состоит в том, что математика убивает наглядную образность мышления и истинное понимание. В идеале было бы хорошо уметь постоянно переходить от математики к образам и наоборот.
Будем все делать постепенно. Я вынужден излагать азы математики, поэтому те, кто с ней хорошо знаком, могут сразу перейти к пункту Расчет замедления времени. Но лучше прочитайте мое изложение азов и сделайте замечания ;-)
http://quantuz.livejournal.com/8271.html
Измерение
Как я уже говорил, математика, это своеобразный язык. Чтобы выразить на нем природу, надо ее сначала на него перевести. А что мы делаем, когда переводим предложение с одного языка на другой? Мы сперва переводим отдельные слова по словарю, а затем собираем из переведенных слов предложение на новом языке. Разумеется, картина упрощена ;-)
Ну вот. Точно так же, прежде чем выразить явление на языке математики, нужно перевести отдельные его черты. Это происходит при измерении, переводе черт природного явления на язык чисел. Пример - мимо нас проносится автомобиль. Чтобы описать его движение на языке математики, нужно измерить время, в течение которого мы его наблюдаем и расстояние, которое он за это время проезжает. То есть, ответить на вопросы "сколько времени ехал автомобиль" и "сколько он проехал".
Как же это сделать?
Предназначение чисел считать: один, два, три и так далее. Мы это знаем с детства. Считая, мы складываем единицы. То же самое делается и при измерении - считаются единицы. Однако, в чистой математике все единицы одинаковые, а в физике - нет. Для каждой особенности явления могут быть использованы свои единицы и только для сходных по характеру особенностей может быть использована одна единица. Например, время измеряется в единицах секундах, а расстояние - в единицах метрах. И то и то - единицы, но они - разные.
Что больше, одна секунда или один метр? Так, конечно, спросить нельзя, получится как в анекдотах про наркоманов, где запросто могут лететь два крокодила, один зеленый, а другой - в африку :-)) Иными словами, единицы измерения разной природы сравнивать нельзя. Зато можно сравнивать единицы измерения одной природы, как в известной детской загадке: что тяжелее, килограмм железа или килограмм пуха? Думаю, все знают на нее ответ. ;-)
Говорят, что единицы измерения - размерные, имеют размерность. А обычные единицы, как в чистой математике, называют безразмерными.
Каждая единица измерения должна быть физически представлена. В чистой математике единица - это абстрактное понятие. В физике - нет. Для измерения в физике нужен эталон - материализованная единица измерения. Например, чтобы измерить расстояние, пройденное автомобилем, можно воспользоваться рулеткой. Рулетка - это тонкий металлический лист, который почти не растягивается и не сжимается и на котором отмечены единицы длины. Рулетка - это эталон, материализованные единицы измерения. Протянув рулетку между начальной и конечной точкой движения, то есть, сопоставив эталон с явлением, мы получим величину - результат измерения. Чтобы измерить время, в течение которого двигался наш автомобиль, нужно воспользоваться другим эталоном - секундомером. Секундомер тикает - это бегут секунды. При этом стрелка на циферблате показывает потраченное время. Стрелка, циферблат, тикание - это все материализованные единицы измерения времени.
Ну вот. Точно так же, прежде чем выразить явление на языке математики, нужно перевести отдельные его черты. Это происходит при измерении, переводе черт природного явления на язык чисел. Пример - мимо нас проносится автомобиль. Чтобы описать его движение на языке математики, нужно измерить время, в течение которого мы его наблюдаем и расстояние, которое он за это время проезжает. То есть, ответить на вопросы "сколько времени ехал автомобиль" и "сколько он проехал".
Как же это сделать?
Предназначение чисел считать: один, два, три и так далее. Мы это знаем с детства. Считая, мы складываем единицы. То же самое делается и при измерении - считаются единицы. Однако, в чистой математике все единицы одинаковые, а в физике - нет. Для каждой особенности явления могут быть использованы свои единицы и только для сходных по характеру особенностей может быть использована одна единица. Например, время измеряется в единицах секундах, а расстояние - в единицах метрах. И то и то - единицы, но они - разные.
Что больше, одна секунда или один метр? Так, конечно, спросить нельзя, получится как в анекдотах про наркоманов, где запросто могут лететь два крокодила, один зеленый, а другой - в африку :-)) Иными словами, единицы измерения разной природы сравнивать нельзя. Зато можно сравнивать единицы измерения одной природы, как в известной детской загадке: что тяжелее, килограмм железа или килограмм пуха? Думаю, все знают на нее ответ. ;-)
Говорят, что единицы измерения - размерные, имеют размерность. А обычные единицы, как в чистой математике, называют безразмерными.
Каждая единица измерения должна быть физически представлена. В чистой математике единица - это абстрактное понятие. В физике - нет. Для измерения в физике нужен эталон - материализованная единица измерения. Например, чтобы измерить расстояние, пройденное автомобилем, можно воспользоваться рулеткой. Рулетка - это тонкий металлический лист, который почти не растягивается и не сжимается и на котором отмечены единицы длины. Рулетка - это эталон, материализованные единицы измерения. Протянув рулетку между начальной и конечной точкой движения, то есть, сопоставив эталон с явлением, мы получим величину - результат измерения. Чтобы измерить время, в течение которого двигался наш автомобиль, нужно воспользоваться другим эталоном - секундомером. Секундомер тикает - это бегут секунды. При этом стрелка на циферблате показывает потраченное время. Стрелка, циферблат, тикание - это все материализованные единицы измерения времени.
Сводка
Понятие
|
Объяснение
|
Пример
|
| Явление | Некое действо, происшествие, в реальном мире | Автмобиль проезжает мимо нас по дороге |
| Черта | Одно из свойств, присущих явлению | Расстояние, на протяжении которого мы видим автомобиль |
| Измерение | Процесс описания черты физического явления на языке математики | Мы определяем расстояние, пройденное автомобилем |
| Эталон | Материализованная единица измерения, прибор для измерения данной физической велчины | Рулетка |
| Сопоставление | Неизбежная черта измерения, при котором эталон каким-либо образом взаимодействует с изучаемым явлением | Мы прикладываем рулетку к дороге |
| Результат | Полученное в процессе измерения численное значание, описывающее одну из черт явления | 50 метров |
| Единица измерения | Единица, в которых измерена величина, количество которых подсчитано в ней | 1 метр |
| Размерность | Качество, отличающее физические единицы измерения от абстрактных математических единиц | метры |
Величины
Как же может выглядеть математическое описание нашего наблюдения за автомобилем?
Допустим, что с помощью рулетки мы измерили длину видимого нами участка дороги и получили 50 м. А с помощью секундомера установили, что автомобиль проехал его за 2 с. Кроме того, мы взяли гаишный радар и определили, что скорость движения автомобиля составила 90 км/ч.
В этом случае, данное явление на языке математики выглядит, как совокупность двух результатов измерения, которые называются величинами. Величины обозначаются латинскими буквами, обычно образованными от соответствующих латинских слов. Латинский я не знаю ;-), поэтому буду говорить об английском - это один из потомков латинского языка.
Время обозначается буквой t от слова time. Расстояние обозначается буквой L от слова Length, длина. Скорость обозначается буквой v от слова veLocity.
Получается, что наше явление описывается двумя величинами:
t = 2 с
L = 50 м
v = 90 км/ч
Размерности обозначены сокращенно.
Уравнения
Мы с вами со школы знаем, что скорость - это не просто величина, а она связана с другими величинами. Скорость, это расстояние, пройденное за время. Иными словами, три представленные выше величины - не независимы, между ними есть закономерность.
Если говорить словами, то она заключается в следующем.
Если бы мы посмотрели на тот же автомобиль, двигающийся с той же скоростью, но на большем участке дороги, скажем, в просвете между кустами, длиной 100 метров, то и время, в течении которого автомобиль преодолевал бы это расстояние было бы больше.
Если бы автомобиль ехал бы медленнее, то 50-метровый участок он бы преодолевал дольше.
Если бы автомобиль ехал бы быстрее, то 50-метровый участок он бы преодолел бы за меньшее время.
Это все очевидные утверждения, но у них есть одно свойство - они неточны. Например, мы не можем сказать, что было бы, если бы мы наблюдали автомобиль на 100-метровом участке: проезжал бы он его за большее время или за то же самое и как вообще соотносится это время с прежним.
Тут нам и помогает математика. Математика нам дает точную взаимосвязь между данными величинами, и она заключается в том, что скорость есть расстояние, деленное на время. Это записывается в виде уравнения:
v = L / t
Косая черта означает математическую операцию деления. Результат этой операции называется частным. Частное обозначено всей дробью L/t, а затем сказано, что это частное равно величине v.
Читаем уравнение
v = L / t
Что записано в уравнении?
Запомните: взаимосвязь величин!
В отличие от первого случая, когда у нас был один конкретный случай проезда автомобиля, в уравнении с буквами закодировано описание множества подобных явлений - множество проездов автомобилей с разными скоростями, в разных просветах между кустами и так далее.
То есть, в уравнении описан не один случай, а все явление! И при этом о явлении кое-что сказано, кое-что неизменное, некий закон явления.
Что должен видеть физик, глядя на уравнение?
Первое, знак равенства. Он делит уравнение на две части - левую и правую. Обычно обе части равноправны и их роль определяется тем, что в них стоит.
Второе, математический смысл этих частей, который заключается в трех аспектах.
А) Места, в которых стоят величины. Например, величина, расположенная в знаменателе (внизу), влияет на дробь обратно, то есть, чем она больше, тем дробь меньше и наоборот. В величина, расположенная в числителе (сверху), влияет на дробь прямо, то есть, чем она больше, тем больше дробь и наоборот.
Тут мы видим, что в нашей математической формуле заключены все те отношения, которые мы раньше изложили словами. Проверьте это самостоятельно.
Б) Допустимые значения. В математике есть запрещенные действия, такие, как деление на ноль. Поскольку все наше уравнение соответстветствует целому явлению, то запрещенные ситуации соответствуют невозможным с точки зрения данного уравнения случаям.
В данном уравнении производится деление на время, а делить на ноль нельзя. Это значит, что в нашем уравнении сказано, что не может быть так, чтобы автомобиль пролетел участок дороги мгновенно.
В) Численное равенство. Естественно, результат указанных операций над величинами, указанными справа (в данном случае, деление расстояния на время) должен быть равен результату операций над величинами, указанными справа (в данном случае - никаких операций, чистая величина скорости).
В этом заключается преимущество математического уравнения над словесными рассуждениями и над неясными образами - оно точно.
Проверим это, подставив в уравнение результаты наших измерений. Слева имеем число 90. Справа имеем 50 разделить на 2, что дает 25. Упс! Не сходится! А почему?
Потому, что физик должен еще видеть третье - размерности величин. При выполнении математических операций над размерными величинами, надо их тоже учитывать, поэтому правильно будет 50 метров перевести сначала в километры, получив 0,05 километра; а секунды перевести в часы, получив 2/60/60 = 0,0005555555 часов и только потом поделить 0,05 на 0,0005555555 получить 90. Можно, разумеется, действовать и в обратном порядке: сначала перевести 90 км/ч к метрам в секунду.
Четвертое, физик должен видеть физический смысл явления, то есть, он должен держать в уме хотя бы очертания автомобиля, дороги и движения первого по второму.
В дальнейшем, мы будем совершенствовать наши способности читать уравнения.
Сейчас хочу поделиться еще одним взглядом на уравнения.
Если кто-то из Вас знаком с программами электронных таблиц, такими, как например Microsoft ExceL, то он знает, что в этих программах можно составить таблицу из чисел, которые связаны между собой. Например, можно построить табицу цен сегодняшних покупок, а внизу поставить итоговую сумму, которая связана с отдельными ценами. После этого программа будет автоматически поддерживать связь: если изменить цену одного или нескольких товаров, то сразу же изменится сумма. Числа в таблице становятся как бы живыми и реагируют на изменения друг друга.
Вот примерно так же можно смотреть и на уравнение. Можно представлять себе, что различные буквы в уравнении пытаются принимать различные случайные числовые значения. Однако некая связ будто бы не дает им меняться совершенно свободно, а делает числовые значения соотносящимися.
Допустим, что с помощью рулетки мы измерили длину видимого нами участка дороги и получили 50 м. А с помощью секундомера установили, что автомобиль проехал его за 2 с. Кроме того, мы взяли гаишный радар и определили, что скорость движения автомобиля составила 90 км/ч.
В этом случае, данное явление на языке математики выглядит, как совокупность двух результатов измерения, которые называются величинами. Величины обозначаются латинскими буквами, обычно образованными от соответствующих латинских слов. Латинский я не знаю ;-), поэтому буду говорить об английском - это один из потомков латинского языка.
Время обозначается буквой t от слова time. Расстояние обозначается буквой L от слова Length, длина. Скорость обозначается буквой v от слова veLocity.
Получается, что наше явление описывается двумя величинами:
t = 2 с
L = 50 м
v = 90 км/ч
Размерности обозначены сокращенно.
Уравнения
Мы с вами со школы знаем, что скорость - это не просто величина, а она связана с другими величинами. Скорость, это расстояние, пройденное за время. Иными словами, три представленные выше величины - не независимы, между ними есть закономерность.
Если говорить словами, то она заключается в следующем.
Если бы мы посмотрели на тот же автомобиль, двигающийся с той же скоростью, но на большем участке дороги, скажем, в просвете между кустами, длиной 100 метров, то и время, в течении которого автомобиль преодолевал бы это расстояние было бы больше.
Если бы автомобиль ехал бы медленнее, то 50-метровый участок он бы преодолевал дольше.
Если бы автомобиль ехал бы быстрее, то 50-метровый участок он бы преодолел бы за меньшее время.
Это все очевидные утверждения, но у них есть одно свойство - они неточны. Например, мы не можем сказать, что было бы, если бы мы наблюдали автомобиль на 100-метровом участке: проезжал бы он его за большее время или за то же самое и как вообще соотносится это время с прежним.
Тут нам и помогает математика. Математика нам дает точную взаимосвязь между данными величинами, и она заключается в том, что скорость есть расстояние, деленное на время. Это записывается в виде уравнения:
v = L / t
Косая черта означает математическую операцию деления. Результат этой операции называется частным. Частное обозначено всей дробью L/t, а затем сказано, что это частное равно величине v.
Читаем уравнение
v = L / t
Что записано в уравнении?
Запомните: взаимосвязь величин!
В отличие от первого случая, когда у нас был один конкретный случай проезда автомобиля, в уравнении с буквами закодировано описание множества подобных явлений - множество проездов автомобилей с разными скоростями, в разных просветах между кустами и так далее.
То есть, в уравнении описан не один случай, а все явление! И при этом о явлении кое-что сказано, кое-что неизменное, некий закон явления.
Что должен видеть физик, глядя на уравнение?
Первое, знак равенства. Он делит уравнение на две части - левую и правую. Обычно обе части равноправны и их роль определяется тем, что в них стоит.
Второе, математический смысл этих частей, который заключается в трех аспектах.
А) Места, в которых стоят величины. Например, величина, расположенная в знаменателе (внизу), влияет на дробь обратно, то есть, чем она больше, тем дробь меньше и наоборот. В величина, расположенная в числителе (сверху), влияет на дробь прямо, то есть, чем она больше, тем больше дробь и наоборот.
Тут мы видим, что в нашей математической формуле заключены все те отношения, которые мы раньше изложили словами. Проверьте это самостоятельно.
Б) Допустимые значения. В математике есть запрещенные действия, такие, как деление на ноль. Поскольку все наше уравнение соответстветствует целому явлению, то запрещенные ситуации соответствуют невозможным с точки зрения данного уравнения случаям.
В данном уравнении производится деление на время, а делить на ноль нельзя. Это значит, что в нашем уравнении сказано, что не может быть так, чтобы автомобиль пролетел участок дороги мгновенно.
В) Численное равенство. Естественно, результат указанных операций над величинами, указанными справа (в данном случае, деление расстояния на время) должен быть равен результату операций над величинами, указанными справа (в данном случае - никаких операций, чистая величина скорости).
В этом заключается преимущество математического уравнения над словесными рассуждениями и над неясными образами - оно точно.
Проверим это, подставив в уравнение результаты наших измерений. Слева имеем число 90. Справа имеем 50 разделить на 2, что дает 25. Упс! Не сходится! А почему?
Потому, что физик должен еще видеть третье - размерности величин. При выполнении математических операций над размерными величинами, надо их тоже учитывать, поэтому правильно будет 50 метров перевести сначала в километры, получив 0,05 километра; а секунды перевести в часы, получив 2/60/60 = 0,0005555555 часов и только потом поделить 0,05 на 0,0005555555 получить 90. Можно, разумеется, действовать и в обратном порядке: сначала перевести 90 км/ч к метрам в секунду.
Четвертое, физик должен видеть физический смысл явления, то есть, он должен держать в уме хотя бы очертания автомобиля, дороги и движения первого по второму.
В дальнейшем, мы будем совершенствовать наши способности читать уравнения.
Сейчас хочу поделиться еще одним взглядом на уравнения.
Если кто-то из Вас знаком с программами электронных таблиц, такими, как например Microsoft ExceL, то он знает, что в этих программах можно составить таблицу из чисел, которые связаны между собой. Например, можно построить табицу цен сегодняшних покупок, а внизу поставить итоговую сумму, которая связана с отдельными ценами. После этого программа будет автоматически поддерживать связь: если изменить цену одного или нескольких товаров, то сразу же изменится сумма. Числа в таблице становятся как бы живыми и реагируют на изменения друг друга.
Вот примерно так же можно смотреть и на уравнение. Можно представлять себе, что различные буквы в уравнении пытаются принимать различные случайные числовые значения. Однако некая связ будто бы не дает им меняться совершенно свободно, а делает числовые значения соотносящимися.
Сводка
Понятие
|
Объяснение
|
Примеры
|
| Величина | Черта явления, могущая быть измерена и представлена в виде размерного числа | Расстояние, время, скорость |
| Буква | Представление величины в математическом уравнении |
L
|
| Уравнение | Взаимосвязь между значениями величин, сохраняющаяся в различных случаях одного явления |
v=L / t,
скорость есть расстояние, деленное на время
|
| Части уравнения | Части, между которыми стоит знак равенства | Левая и правая |
| Места | Места, в которых стоят буквы уравнения | Числитель, знаменатель |
| Допустимые значения | Значения, которые математически разрешены для букв в уравнении | Время проезда, не равное нулю |
| Размерности |
Единицы измерения, в которых представлены величины и которые требуют учета
| Одна и та же скорость может быть записана как 90 км/ч или как 25 м/с |
| Физический смысл |
Образ явления, подробности, которые невыразимы на языке математики
|
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора - другой пример взаимосвязи, которая встречается уже в геометрии и также может быть выражена математически. Кратко она звучит так "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов" и иллюстрируется нижеследующим рисунком.
Теорема Пифагора ведет речь об особом классе треугольников (все помнят, что такое треугольник? :-), называемых прямоуголными. Это такие треугольники, один из углов у которых равен 90 градусов, то есть, прямой. На нащем рисунке это угол C, который помечен зеленой долькой и подписью в градусах.
Стороны, которые соприкасаются с прямым углом называются катетами. На рисунке это стороны AC и BC. Оставшаяся сторона называется гипотенузой, это сторона AB.
Так вот оказывается, что длины сторон в таком треугольнике не могут быть любыми, они обязательно связаны между собой. Представьте себе мысленно, что сторона AC на рисунке медленно вытягивается вправо. Ясно, что следуя одним концом за ней, сторона AB также вынуждена вытягиваться. Аналогичное произойдет, если сторона CB станет расти вверх. А противоположное произойдет, если эти стороны станут уменьшаться в длинне.
Видите закономерность, чувствуете связь?
То, что мы прочувствовали только что - это качественная зависимость. Но одной качественной зависимости может соответствовать очень много точных зависимостей. Иначе говоря, соблядая описанную нами выше взаимосвязь, стороны могли бы изменяться в разных пропорциях.
Люди уже в древности поняли, каковы именно эти пропорции: нжно длину одного катета умножить самого на себя (возвести в квадрат), потом возвести в квадрат длину другого катета и все это сложить. При этом полученная сумма окажется в точно равна возведенной в квадрат длине гипотенузы! И так будет в любом треугольнике!
Можно проверить этот факт для треугольника, нарисованного выше. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам, причем 5 - это длина гипотенузы. Можно посчитать, что соотношение выполняется, так как 32 + 42 = 3 * 3 + 4 * 4 = 9 + 16 = 25 = 52.
Если обозначить длину катетов буквами d и L, а длину гипотенузы - буквой s, то теорема Пифагора запишется в общем виде как уравнение
d2 + L2 = s2
Координаты
В нескольких прошлых выпусках я уже говорил о координатах. Теперь настало время разобраться с ними поподробнее.
Мы изучаем движение, а в процессе движения положения тел изменяются. Это значит, что нам будет недостаточно одного или нескольких величин, которых нам хватило для общего описания простого явления проезда автомобиля перед глазами.
Я уже говорил, что координаты служат для перевода явлений природы на язык математики. А сегодня мы узнали, что в основе любого такого перевода лежит измерение. Следовательно, координаты - это приспособление для измерений. Конкретно - приспособление, для измерений положений тел в пространстве.
Мы уже немножко затронули координаты в этом выпуске, когда пользовались рулеткой. Что такое рулетка? Это ни что иное, как координатная ось. Если представить, что у нас имеется рулетка огромной длины и что мы раскатали ее на протяжении всей дороги, то получится представление о введении одномерной системы координат на дороге. Собственно, такие системы координат уже введены почти на всех больших дорогах - это километровые (или верстовые) столбы.
Столбы вдоль дороги позволяют полностью промерить движение автомобиля во всех фазах. Можно составить таблицу, в которой будут отмечены время и километраж.
Например можно промерять путь автомобиля в 200 км через каждые полчаса и получить следующую таблицу:
| Но. | Время, ч | Расстояние, км |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0,5 | 50 |
| 3 | 1 | 100 |
| 4 | 1,5 | 150 |
| 5 | 2 | 150 |
| 6 | 2,5 | 200 |
Иными словами, чтобы получше себе представить весь процесс движения автомобиля, мы, прямо или косвенно, провели целых шесть измерений (они пронумерованы в первом столбце)!
Еще больше измерений приходится делать, когда надо описать движения на плоскости. В этом случае требуется уще не одна координата, а две. Допустим, у нас имеется прямая, как стрела трасса, а также поселки в стороне от нее. Чтобы указать местоположение поселка, надо задать два числа - место, где свернуть, а также расстояние, которое надо проехать в сторону.
Чтобы упростить себе представление, можно думать о системе координат, как о сетке, заранее проведенной на плоскости и в пространстве. При этом не надо забывать, что система координат не существует сама по себе, что она - следствие когда-то проведенных измерений.
Посмотрите на нижеследующий мультик: ссылка на анимацию. На нем отображена сетка координат и два объекта - желтый и зеленый кружки. Внизу показаны координаты этих объектов. Единицей измерения является клетка. Попробуйте подвигать объекты и разобраться, как измеряются координаты, это просто!
Я очень надеюсь, что двигая координатную сетку и рассматривая, как вычисляются координаты, вы заметите постоянное проявление прямоугольных треугольников и, возможно, путь применения теоремы Пифагора! ;-)
Равномерное движение
Рассмотрим еще раз таблицу с измерениями движения автомобиля.
Из нее видно, что начиная с полутора часов и до двух, путь не увеличивался. Это значит, что водитель останавливался из-за поломки или из-за того, что заходил в дорожный ресторан. На этом участке его движение было неравномерным.
Напротив, из первой части таблицы виден пример равномерного движения: при одинаковом приросте времени происходил одинаковый прирост пути. Отношение этих приросто называется, как известно, скоростью. Равномерным движением называется движение с постоянной скоростью.
Но скорость играет еще одну важную роль. Посмотрите на таблицу до четвертой строчки включительно: если делить пройденный путь на полное время, то получаются те же 100 км/ч!
Это значит, что мы можем записать уравнение равномерного движения, то есть, уравнение, которое описывает явление продолжительного явления, называемого процессом равномерного движения. Суть уравнения состоит в том, что утверждается, что частное между пройденным путем и затраченным временем есть скорость и оно постоянно.
На языке математики это дает:
v = L / t
Упс! Получилось то же самое уравнение, что и раньше! Но смысл его другой! В этом отличие математических уравнений от физических - в последних есть еще дополнительный смысл, который из уравнения не виден.
Первое уравнение показывало нам всевозможные случаи наблюдения проезжающего автомобиля и указывало взамосвязь между величинами, характеризующими это явление.
Теперешнее уравнение показывает нам длительный процесс равномерного движения, причем пройденный путь все время прирастает скоростью. Конечно, это уравнение тоже показывает целую совокупность равномерных движений, с разными скоростями.
Постарайтесь представлять себе раздельно оба образа, которые даются двумя уравнениями!
Уравнение хорошо тем, что оно не только кодирует взаимосвязь между величинами, но и является просто математической формулой. Наше уравнение есть ни что иное, как утверждение, что величина v равна частному между величинами L и t. Поскольку эти два числа (величина и частное) равны, то останутся равны и результаты их умножения на одно и то же число.
То есть, если у нас есть
v = L / t
То это значит, что у нас также есть
v * a = (L / t) * a
Понятно?
Буквой a мы обозначили любое число. Поскольку оно любое, то оно может быть равно и t. И тогда получается
v * t = (L / t) * t
Теперь рассмотрим внимательнее правую часть уравнения: в ней L сначала разделено на t, а потом на то же t умножено. Ясно, что результат от такого действия не изменится и у нас получится просто L. В итоге у нас получается
v * t = L
То, что мы сейчас проделали, на языке математики называется тождественное преобразование, то есть, преобразование уравнения, при котором его значение не меняется. В самом деле, если учесть, что произведение двух сомножетелей обладает тем свойством, что оно (1) уменьшается, если уменьшается любой из сомножителей и (2) увеличивается, если увеличивается любой из сомножителей, то видно, что качественно описываемая уравнением взаимосвязь между величинами v, t, и L осталась той же. Численная идентичность следует из законов арифметики.
Иными словами, мы получили то же самое уравнение, но в другой форме.
Чем же хороша для нас эта форма? А тем, что она подходит для ответа на вопрос: "какой путь проходит тело" и прозрачно подсказывает этот ответ "путь, равный произведению затраченного времени на скорость".
Расчет замедления времени
Опишем математически движение светового зайчика, показанное наглядно в прошлом выпуске.
Еще больше измерений приходится делать, когда надо описать движения на плоскости. В этом случае требуется уще не одна координата, а две. Допустим, у нас имеется прямая, как стрела трасса, а также поселки в стороне от нее. Чтобы указать местоположение поселка, надо задать два числа - место, где свернуть, а также расстояние, которое надо проехать в сторону.
Чтобы упростить себе представление, можно думать о системе координат, как о сетке, заранее проведенной на плоскости и в пространстве. При этом не надо забывать, что система координат не существует сама по себе, что она - следствие когда-то проведенных измерений.
Посмотрите на нижеследующий мультик: ссылка на анимацию. На нем отображена сетка координат и два объекта - желтый и зеленый кружки. Внизу показаны координаты этих объектов. Единицей измерения является клетка. Попробуйте подвигать объекты и разобраться, как измеряются координаты, это просто!
Я очень надеюсь, что двигая координатную сетку и рассматривая, как вычисляются координаты, вы заметите постоянное проявление прямоугольных треугольников и, возможно, путь применения теоремы Пифагора! ;-)
Равномерное движение
Рассмотрим еще раз таблицу с измерениями движения автомобиля.
Из нее видно, что начиная с полутора часов и до двух, путь не увеличивался. Это значит, что водитель останавливался из-за поломки или из-за того, что заходил в дорожный ресторан. На этом участке его движение было неравномерным.
Напротив, из первой части таблицы виден пример равномерного движения: при одинаковом приросте времени происходил одинаковый прирост пути. Отношение этих приросто называется, как известно, скоростью. Равномерным движением называется движение с постоянной скоростью.
Но скорость играет еще одну важную роль. Посмотрите на таблицу до четвертой строчки включительно: если делить пройденный путь на полное время, то получаются те же 100 км/ч!
Это значит, что мы можем записать уравнение равномерного движения, то есть, уравнение, которое описывает явление продолжительного явления, называемого процессом равномерного движения. Суть уравнения состоит в том, что утверждается, что частное между пройденным путем и затраченным временем есть скорость и оно постоянно.
На языке математики это дает:
v = L / t
Упс! Получилось то же самое уравнение, что и раньше! Но смысл его другой! В этом отличие математических уравнений от физических - в последних есть еще дополнительный смысл, который из уравнения не виден.
Первое уравнение показывало нам всевозможные случаи наблюдения проезжающего автомобиля и указывало взамосвязь между величинами, характеризующими это явление.
Теперешнее уравнение показывает нам длительный процесс равномерного движения, причем пройденный путь все время прирастает скоростью. Конечно, это уравнение тоже показывает целую совокупность равномерных движений, с разными скоростями.
Постарайтесь представлять себе раздельно оба образа, которые даются двумя уравнениями!
Уравнение хорошо тем, что оно не только кодирует взаимосвязь между величинами, но и является просто математической формулой. Наше уравнение есть ни что иное, как утверждение, что величина v равна частному между величинами L и t. Поскольку эти два числа (величина и частное) равны, то останутся равны и результаты их умножения на одно и то же число.
То есть, если у нас есть
v = L / t
То это значит, что у нас также есть
v * a = (L / t) * a
Понятно?
Буквой a мы обозначили любое число. Поскольку оно любое, то оно может быть равно и t. И тогда получается
v * t = (L / t) * t
Теперь рассмотрим внимательнее правую часть уравнения: в ней L сначала разделено на t, а потом на то же t умножено. Ясно, что результат от такого действия не изменится и у нас получится просто L. В итоге у нас получается
v * t = L
То, что мы сейчас проделали, на языке математики называется тождественное преобразование, то есть, преобразование уравнения, при котором его значение не меняется. В самом деле, если учесть, что произведение двух сомножетелей обладает тем свойством, что оно (1) уменьшается, если уменьшается любой из сомножителей и (2) увеличивается, если увеличивается любой из сомножителей, то видно, что качественно описываемая уравнением взаимосвязь между величинами v, t, и L осталась той же. Численная идентичность следует из законов арифметики.
Иными словами, мы получили то же самое уравнение, но в другой форме.
Чем же хороша для нас эта форма? А тем, что она подходит для ответа на вопрос: "какой путь проходит тело" и прозрачно подсказывает этот ответ "путь, равный произведению затраченного времени на скорость".
Расчет замедления времени
Опишем математически движение светового зайчика, показанное наглядно в прошлом выпуске.
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет иде туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом L, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид
c * t = L
Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону.
Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Вот рисунок.
Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения!
Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:
v * t' = d
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути?)
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение
c * t' = s
Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше. Понимаете, почему?
Запомним эти два уравнения.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна L. Да-да, тому самому L, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно L, то оно не могло повлиять не нее.
Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение
s2 = L2 + d2
Это ведь просто теорема Пифагора, верно? ;-)
Подставим сюда имеющиеся у нас значения для s и d.
( c * t' )2 = L2 + ( v * t' )2
А теперь обратимся к рассмотрению процесса с неподвижной точки зрения и подставим оттуда значение L:
( c * t' )2 = ( c * t )2 + ( v * t' )2
В этом уравнении мы скомбинировали величины, полученные при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения и величины, полученные при рассмотрении того же процесса с точки зрения летящего корабля. Это значит, что внутри этого уравнения закодирована взаимосвязь между результатми обмера одного и того же процесса с разных точек зрения.
Видите взаимосвязь? ;-) Она касается величин t и t'!
При помощи тождественных преобразований, ее можно выразить более явно.
Условно разделим величины на известные и неизвестные. Будем считать время с подвижной точки зрения неизвестным, а время с неподвижной - известным. Разнесем их в разные части уравнения. Для этого вычтем из обеих частей равенства член (v*t')2, получим
( c * t' )2 - ( v * t' )2 = ( c * t )2
В левой части вынесем за скобки множитель t'2, получим
(c2 - v2) * t'2 = ( c * t )2
Разделим обе части на c2, получим
(1 - v2 / c2) * t'2 = t2
А теперь разделим обе части на (1 - v2 / c2), получим
t'2 = t2 / (1 - v2 / c2)
Извлечем из обеих частей квадратный корень (обозначаемый словом sqrt), и получим знаменитую формулу
t' = t / sqrt (1 - v2 / c2)
Эта формула показывает, как чему равно время процесса t' с подвижной точки зрения, когда с неподвижной оно равно t. Иными словами, если неподвижный наблюдатель видит, что световые часы тикают с периодом t, то пролетающий мимо него на космическом корабле увидит, что эти часы тикают с периодом t'.
Прочитаем-ка эту формулу.
Во-первых, выражение 1 - v2 / c2 стоит под знаком корня. Если кто помнит, то извлекать корни из отрицательных чисел запрещено. Поэтому данная величина обязаны быть положительной.
Что это значит? Сама величина представляет собой вычитание величины v2 / c2 из единицы. И эта разность должна быть положительной. Это значит, что v2 / c2 обязано быть меньшим единицы.
А это, в свою очередь, означает, что v должно быть обязательно меньше c. Понимаете почему?
Эта часть показывает нам, что полученное нами соотношение полностью исключает возможность движения со скоростью, большей скорости света. Или даже равной ему, потому что тогда знаменатель бы обращался в ноль, а делить на ноль - нельзя.
Во-вторых, выражение 1 - v2/c2 всегда меньше единицы (из единицы вычитается чего-то). Еэто значит, что и результат вычисления квадратного корны - тоже меньше единицы. А сама формула, таким образом, представляет собой операцию деления "старого" времени на число, меньшее единицы. Ясно, что при этом "новое" время получится больше.
Величина 1 / sqrt(1 - v2/c2) - безразмерная (понятно, почему?) и называется релятивистским множителем. Часто она обозначается греческой буквой гамма, так что
γ = 1 / sqrt(1 - v2 / c2)
В дальнейшем она будет встречаться нам повсюду и мы поймем ее смысл: он связан с теоремой Пифагора!
Ну вот, на сегодня и все.
Комментариев нет:
Отправить комментарий