Сегодня я вновь должен коснуться неприятной для многих материи - математики. Мы должны алгебраически вывести и записать явление лоренцева сокращения на языке формул.
В прошлом математическом выпуске, мы вычислили, что время, которое протекает у движущегося наблюдателя, например, у пассажира космического корабля, связано со временем, которое течет у неподвижного наблюдателя, например, у жителя земного города, соотношением
t' = t/sqrt(1 - v2/c2), где
t - время, прошедшее у движущегося наблюдателя,
t' - время, прошедшее у неподвижного наблюдателя,
v - скорость движения движущегося наблюдателя относительно неподвижного.
Анализ формулы, который вы всегда должны проделывать, заключается в следующем. В знаменателе имеется член v2/c2, который положителен (так как вадраты всегда положительны), всегда меньше единицы (так как скорость v меньше скорости света c) и тем ближе к единице, чем больше v (так как v находится в числителе дроби). Отсюда следует, что разница 1 - v2/c2 всегда заключена между 0 и 1 и приближается к 0, когда v приближается к c. Операция квадратного корня не меняет этой картинки, так как корень от 0 дает 0, а корень от 1 - дает 1. Поэтому, поскольку данное подвыражение находится в знаменателе дроби, результат t' всегда оказывается больше t. То есть, у неподвижного наблюдателя времени проходит больше, чем у движущегося.
Следуя алгебраическим законам, мы можем переписать эту формулу в другом виде:
t = t'·sqrt(1 - v2/c2)
Такая формула имеет почти тот же смысл: она дает нам возможность, зная время, прошедшее у неподвижного наблюдателя и скорость движения движущегося, подставив эти значения в правую часть формулы, получить результат в левой - время, прошедшее у движущегося наблюдателя.
Время, прошедшее у движущегося наблюдателя, называется его собственным временем. Так что эта формула служит для вычисления собственного времени.
Теперь рассмотрим ситуацию, при которой неподвижный наблюдатель видит, как движущийся наблюдатель пролетает объект, скажем, космическое облако, толщиной l'. Поскольку скорость движения известна, то неподвижный наблюдатель увидит, что движущийся преодолел облако за время
t' = l'/v.
Однако, этот промежуток времени предстанет самому движущемуся наблюдателю, как промежуток
t = t'·sqrt(1 - v2/c2)
который меньше, чем t'.
Зная свою скорость v, и это время t, за которое он пролетел облако, движущийся наблюдатель сочтет, что облако имело толщину
l = vt
Подставим в эту формулу значение для t:
l = vt'·sqrt(1 - v2/c2)
а в эту формулу - значение для t' и получим выражение
l = v·l'/v·sqrt(1 - v2/c2)
в котором v встречается два раза, и в числителе, и в знаменателе. В таких случаях множитель уничтожается, что дает:
l = l'·sqrt(1 - v2/c2)
Из этой формулы видно, что движущийся наблюдатель обнаружит, что облако короче, чем это представилось его неподвижному собрату.
Видно, что лоренцево сокращение - это явление, очень похожее на замедление времени. Оба явления выражаются одинаковыми формулами и выражают одинаковое изменение длин и времен при движении.
Прим. quantuz: следующий выпуск автор посвятит разбору парадокса удочки и сарая - одному из удивительных следствий ТО (Мы бы уже и сейчас бы запилили его сюда, но есть проблема с вытаскиванием файлов из помойки web-archive, наши ассенизаторы работают). Оставайтесь с нами.
t' = t/sqrt(1 - v2/c2), где
t - время, прошедшее у движущегося наблюдателя,
t' - время, прошедшее у неподвижного наблюдателя,
v - скорость движения движущегося наблюдателя относительно неподвижного.
Анализ формулы, который вы всегда должны проделывать, заключается в следующем. В знаменателе имеется член v2/c2, который положителен (так как вадраты всегда положительны), всегда меньше единицы (так как скорость v меньше скорости света c) и тем ближе к единице, чем больше v (так как v находится в числителе дроби). Отсюда следует, что разница 1 - v2/c2 всегда заключена между 0 и 1 и приближается к 0, когда v приближается к c. Операция квадратного корня не меняет этой картинки, так как корень от 0 дает 0, а корень от 1 - дает 1. Поэтому, поскольку данное подвыражение находится в знаменателе дроби, результат t' всегда оказывается больше t. То есть, у неподвижного наблюдателя времени проходит больше, чем у движущегося.
Следуя алгебраическим законам, мы можем переписать эту формулу в другом виде:
t = t'·sqrt(1 - v2/c2)
Такая формула имеет почти тот же смысл: она дает нам возможность, зная время, прошедшее у неподвижного наблюдателя и скорость движения движущегося, подставив эти значения в правую часть формулы, получить результат в левой - время, прошедшее у движущегося наблюдателя.
Время, прошедшее у движущегося наблюдателя, называется его собственным временем. Так что эта формула служит для вычисления собственного времени.
Теперь рассмотрим ситуацию, при которой неподвижный наблюдатель видит, как движущийся наблюдатель пролетает объект, скажем, космическое облако, толщиной l'. Поскольку скорость движения известна, то неподвижный наблюдатель увидит, что движущийся преодолел облако за время
t' = l'/v.
Однако, этот промежуток времени предстанет самому движущемуся наблюдателю, как промежуток
t = t'·sqrt(1 - v2/c2)
который меньше, чем t'.
Зная свою скорость v, и это время t, за которое он пролетел облако, движущийся наблюдатель сочтет, что облако имело толщину
l = vt
Подставим в эту формулу значение для t:
l = vt'·sqrt(1 - v2/c2)
а в эту формулу - значение для t' и получим выражение
l = v·l'/v·sqrt(1 - v2/c2)
в котором v встречается два раза, и в числителе, и в знаменателе. В таких случаях множитель уничтожается, что дает:
l = l'·sqrt(1 - v2/c2)
Из этой формулы видно, что движущийся наблюдатель обнаружит, что облако короче, чем это представилось его неподвижному собрату.
Видно, что лоренцево сокращение - это явление, очень похожее на замедление времени. Оба явления выражаются одинаковыми формулами и выражают одинаковое изменение длин и времен при движении.
Прим. quantuz: следующий выпуск автор посвятит разбору парадокса удочки и сарая - одному из удивительных следствий ТО (Мы бы уже и сейчас бы запилили его сюда, но есть проблема с вытаскиванием файлов из помойки web-archive, наши ассенизаторы работают). Оставайтесь с нами.
Комментариев нет:
Отправить комментарий